L'Sichon Melech ha'Emori -- Ki l'Olam Chasdo

  לְ֭מַכֵּה מְלָכִ֣ים גְּדֹלִ֑ים כִּ֖י לְעוֹלָ֣ם חַסְדּֽוֹ׃

 וַֽ֭יַּהֲרֹג מְלָכִ֣ים אַדִּירִ֑ים כִּ֖י לְעוֹלָ֣ם חַסְדּֽוֹ

לְ֭סִיחוֹן מֶ֣לֶךְ הָאֱמֹרִ֑י כִּ֖י לְעוֹלָ֣ם חַסְדּֽוֹ

וּ֭לְעוֹג מֶ֣לֶךְ הַבָּשָׁ֑ן כִּ֖י לְעוֹלָ֣ם חַסְדּֽוֹ

Rashi explains that the מְלָכִ֣ים גְּדֹלִ֑ים and מְלָכִ֣ים אַדִּירִ֑ים refer to the kings of Canaan conquered by Yehoshua. 

Radak, however, explains that the מְלָכִ֣ים גְּדֹלִ֑ים and מְלָכִ֣ים אַדִּירִ֑ים are Sichon and Og. זכרם בכלל, ואחר כך פרט אותם, להגדיל השבח First the pasuk gives shevach in a general sense, and then dives into the specifics and mentions the kings by name.  

Radak goes on to explain  וְנָתַ֣ן אַרְצָ֣ם לְנַחֲלָ֑ה כִּ֖י לְעוֹלָ֣ם חַסְדּֽוֹ deserves special praise because Sichon and Og are not among the 7 nations of Canaan whose land was promised to Avraham.  Our conquest of those nations is an extra bonus, icing on the cake:

 ועוד חסד גדול מזה, כי לא די שהכה אותם, אלא שנתן להם ארצם לנחלה, שלא באו שאר הגוים, ולא נאספו עליהם להוציאם משם. וזה חסד גדול מאתו, כי חסד הוא תוספת הטובה. ובזו הארץ שנתן להם, הוסיף להם בטובתו, כי לא נתנה לאברהם אבינו אלא מעבר הירדן והלאה שהיא ארץ שבעה גוים ועוד שלשה גוים: קיני וקניזי וקדמוני. ואותם שלשה לא היו להם עד לעתיד לבוא שיהיה מגבול ארץ ישראל

Similarly, R' Tzadok haKohen in Pri Tzadik (Devarim 2) writes:

כי הנה ארץ סיחון ועוג לא נחשבו מכלל שבעת האומות שניתן לישראל כי הלא משרע"ה שלח לו אעברה נא בארצך. וגם עפ"י דין אין עבר הירדן מקודשת בקדושת ארץ ישראל שאין מביאין ממנה בכורים וכמו שנא' ביהושע ואך אם טמאה ארץ אחוזתכם וגו' כידוע שארץ ז' עממין הוא בקליפה זלעו"ז נגד הז' מדות שבקדושה שהם בהתגלות בפועל ועליהם בא המצוה לא תחי' כל נשמה כדי להכניע כל הז' מדות להקדושה. אמנם הג' אומות קני וקניזי וקדמוני שהם אדום ועמון ומואב שהם נגד ג' ראשונות שבקדושה כח"ב אין עוד כח בנו לבררם בעוה"ז בשלימות ולהכניעם עד עת קץ כדאי' מהאריז"ל לכן נצטוו עליהם שלא להתגרות עמם. והנה גם סיחון ועוג המה בקליפה נגד חכמה ובינה שבקדושה לכן דרשו במדרש הפ' הנה כסה את עין הארץ סיחון ועוג שהיו שומרים אותנו וכו' קרא לסיחון ועוג עין הארץ שהם זלעו"ז נגד העיינין שבקדושה שהם מרומזים בחדשים הללו תמוז ואב כידוע מהאריז"ל שתמוז ואב הם בחינת עיינין דמטרוניתא.

According to R' Tzadok, the war against the nations is a spiritual battle as well a physical one.  The seven nations of Canaan can be defeated because we can succeed in the tikun of the seven midos.  Sichon and Og correspond to the klipah of chochma and binah, and their defeat was therefore beyond what might have been expected.

The difficulty with Rashi, which Radak avoids, is that according to Rashi the praises do not follow the chronological order of events, as the defeat of Sichon and Og preceded the conquest of Canaan but is mentioned afterwards.  The difficulty with Radak is the redundancy of first praising Hashem for the defeat of מְלָכִ֣ים גְּדֹלִ֑ים when it could have just mentioned Sichon and Og directly.

Parashas Derachim (derush 7) has an interesting suggestion.  He writes that מְלָכִ֣ים גְּדֹלִ֑ים refers to Edom, Amon, Moav, nations which we were told not to wage war against.  Because Sichon and Og defeated these kings and took part of their land, it made that territory fair game for us to capture.  It is the victory of Sichon and Og over these enemies which we are giving thanks for.

I have no idea what the Sefas Emes (5635) means when he writes that Sichon and Og correspond to the idea of tefillin shel yad and shel rosh.  He then goes on to explain why the mizmor divides וְנָתַ֣ן אַרְצָ֣ם לְנַחֲלָ֑ה כִּ֖י לְעוֹלָ֣ם חַסְדּֽוֹ׃ and נַ֭חֲלָה לְיִשְׂרָאֵ֣ל עַבְדּ֑וֹ כִּ֖י לְעוֹלָ֣ם חַסְדּֽוֹ into two separate statements.  I have yet to unravel what he means.