stolen shofar -- Raavad's view

Rambam and Raavad agree that one can be yotzei tekiyas shofar with a stolen shofar, but they disagree as to why.  Rambam paskens (Shofar 1:3)

שופר של עכו"ם אין תוקעין בו לכתחלה ואם תקע יצא. ושל עיר הנדחת אם תקע בו לא יצא. שופר הגזול שתקע בו יצא שאין המצוה אלא בשמיעת הקול אע"פ שלא נגע בו ולא הגביהו השומע יצא ואין בקול דין גזל. וכן שופר של עולה לא יתקע בו ואם תקע יצא שאין בקול דין מעילה. ואם תאמר והלא נהנה בשמיעת הקול מצות לא ליהנות ניתנו. לפיכך המודר הנייה משופר מותר לתקוע בו תקיעה של מצוה:

Raavad comments:

 ואין בקול דין גזל. א"א ואפילו יהיה בו דין גזל יום תרועה יהיה לכם מ"מ הכי איתא בירושלמי עכ"ל

In truth, both reasons are brought by the Yerushalami (Sukkah perek 3 halacha 1) in the context of explaining why a shofar of avodah zarah or ir ha'nidachas is acceptable, but a lulav with either of those two psulim is not:

 שׁוֹפָר שֶׁלְעֲבוֹדָה זָרָה וְשֶׁלְעִיר הַנִּידַּחַת, רִבִּי לָעְזְר אָמַר: כָּשֵׁר. תַּנֵּי רִבִּי חִייָה: כָּשֵׁר. תַּנֵּי רִבִּי הוֹשַׁעְיָה: פָּסוּל. הַכֹּל מוֹדִין בַּלּוּלָב שֶּׁהוּא פָסוּל. מַה בֵין שׁוֹפָר וּמַה בֵין לוּלָב? אָמַר רִבִּי יוֹסֵה: בַּלּוּלָב כְּתִיב וּלְקַחְתֶּם לָכֶם – מִשֶׁלָּכֶם, לֹא מִשֶּׁלְאִיסּוּרֵי הֲנָייָה. בְּרַם הָכָא יוֹם תְּרוּעָה יִהְיֶה לָכֶם – מִכָּל מָקוֹם. אָמֵר רִבִּי לָעְזְר: תַּמָּן בְגוּפוֹ הוּא יוֹצֵא, בְּרַם הָכָא בְקוֹלוֹ הוּא יוֹצֵא, וְיֵשׁ קוֹל אָסוּר בַּהֲנָייָה?

What then is the Raavad objecting to?  Is there some reason the Rambam should favor the reason quoted by Raavad over the one he quotes?

Secondly, while Raavad is consistent with the Ylmi, his comment seems to contradict the Bavli.  The gemara in the opening of perek lulav ha'gazul (Sukkah 30) debates whether the din of לוּלָב הַגָּזוּל  פָּסוּל applies only to the first day of Y"T or to all days of Y"T.  Even though the din of לָכֶם applies only one the first day (ולקחתם לכם בּיום הראשׁון), the gemara writes that the psul of mitzvah habaah b'aveira would invalidate a stolen lulav on the other days as well.

It should therefore follow that even if there is no requirement of לָכֶם with respect to shofar, there should still be a psul of mitzvah habaah b'aveira.

B'shlama according to the Rambam's reasoning, a psul in the shofar does not invalidate its kol, but according to Raavad who does not accept this argument (whatever his reason might be), the psul of mitzvah habaah b'aveira should invalidate the tekiyos.  

Just to make things worse and add icing on the cake, Rambam (Lulav 8:9) actually paskens that a stolen lulav is acceptable outside the first day of Y"T:

כל אלו שאמרנו שהם פסולין מפני מומין שבארנו או מפני גזל וגניבה ביום טוב ראשון בלבד אבל ביום טוב שני עם שאר הימים הכל כשר

But Raavad disagrees because of mitzvah habaah b'aveira.  

 כל אלו שאמרנו וכו'. א"א אין הכל מודים בגזול ויבש שאין פסולים משום הדור אלא גזול ה"ל מצוה הבאה בעבירה יבש מפני שהוא כמת, בירושלמי:

L'shitaso, what then does Raavad do with the idea of mitzvah habaah b'aveira with respect to shofar?

Leaving this hanging for now...